勾股數

符合勾股定理的三個正整數解組成的數組

勾股數,又名商高數勾股數(Pythagorean triple),是由三個正整數組成的數組;能符合勾股定理(畢式定理)「」之中,的正整數解。而且,基於勾股定理的逆定理,任何邊長是勾股數組的三角形都是直角三角形

如果是勾股數,它們的正整數倍數,也是勾股數,即也是勾股數。若果三者互質(它們的最大公因數是 1),它們就稱為素勾股數本原勾股數組

找出素勾股數

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以下的方法可用來找出勾股數。設   均是正整數,

 
 
 

  互質,而且  為一奇一偶,計算出來的 就是素勾股數。(若  都是奇數 就會全是偶數,不符合互質。)

所有素勾股數可用上述列式當中找出,這亦可推論到數學上存在無窮多的素勾股數。

例子

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以下是小於 100 的素勾股數:

     
3 4 5
5 12 13
7 24 25
8 15 17
9 40 41
11 60 61
12 35 37
13 84 85
16 63 65
20 21 29
28 45 53
33 56 65
36 77 85
39 80 89
48 55 73
65 72 97

有些勾股數組可以有同一個最小的勾股數。第一個例子是 20 ,它在以下兩組勾股數之中出現:  

其中最先例子是5,它在以下兩組勾股數之中出現  

在 15,386 組素勾股數的 1229779565176982820 ,它的最小與最大的勾股數組是:

 
 
 

 
 
 

試考慮它的質因數分解

 

它質因數的個數涉及不少素勾股數。當然,數學上存在比它大的素勾股數。

性質

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對於本原勾股數組  ,我們有

  •  兩兩互質
  •  其中一個是3的倍數
  •  其中一個是4的倍數
  •  其中一個是5的倍數

對於第二、三、四條性質的證明:

利用完全平方數  都不是3的倍數,則 ,導致  矛盾,所以 一定有且只有一個數是3的倍數。

因為 是本原勾股數組,所以必有 一奇一偶。不妨設 為奇數, 為偶數,這時候對 兩邊同時 ,則會得到 ,故 ,所以 一定有且只有一個數是4的倍數。

利用完全平方數  都不是5的倍數,則   ,而  ,矛盾,所以 一定有且只有一個數是5的倍數。

證畢。

找尋勾股數的小技巧

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若需要一組最小數為奇數的勾股數,可任意選取一個 3 或以上的奇數,將該數自乘為平方數,除以 2,答案加減 0.5 可得到兩個新的數字,這兩個數字連同一開始選取的奇數,三者必定形成一組勾股數[1]。但卻不一定是以這個選取數字為起首勾股數的最小可能或唯一可能,例如 並非是以 27 為起首的唯一勾股數,因為存在另一個勾股數是 ,同樣也以 27 為首。

對於任何大於1的整數    ,三個數必為畢氏數[1],例如:代入 為2,則 為5, 為3, 為4, 為一組畢氏數。

推廣

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費馬最後定理指出,若 ,而 是大於 2 的整數, 即沒有正整數解。

參見

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外部連結

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  1. ^ 1.0 1.1 宋蕙君; 陳柏揚; 謝明君. 〈哇!這是什麼 5,4,3 啊!〉 (PDF). 桃園縣立大竹國民中學. 中華民國第四十八屆中小學科學展覽會. 2008年. (原始內容 (PDF)存檔於2022-10-12).