二元素布爾代數

二元素布爾代數是最簡單的布爾代數,它只有二個元素,習慣指名為 1 和 0。保羅·哈爾莫斯給這個起名為 2,被一些文獻和本文採用。

任何布爾代數都關聯着叫做「全集」或「載體」的一個偏序集合 B,使得這個布爾代數的運算是從 BnB 的映射。這個載體是由於有顯著的成員 0 和 1 而是有界的。2 簡單的就是其載體同一於它的界的集合的布爾代數,即 B={0,1}。

布爾代數的二個二元運算有很多名字和符號。這裡把它們叫做「和」與「積」,分別符號表示為中綴 + 和 。積經常指示為二個操作數的簡單串聯。和與積是交換的和結合的,如同普通的實數代數中那樣。在運算次序上, 優先於 + 但是括號可以超越它。所以「A B + C」被分析為「(A B) + C」而非「A (B + C)」。

一元運算總是被稱為「補」,這裡的符號表示是對參數放置上橫槓。x 的補的數值類似者是 1-x。在泛代數的語言中,所有布爾代數是 代數,型為

解釋 0 和 1 中的一個為「真」另一個為「假」產生了經典的等式形式的二值邏輯。在這種情況下,+ 被讀做 被讀做,而補被讀做

參見

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引用

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Many elementary texts on Boolean algebra were published in the early years of the computer era. Perhaps the best of the lot, and one still in print, is:

  • Mendelson, Elliot, 1970. Schaum's Outline of Boolean Algebra. McGraw-Hill.

The following items, more challenging than this entry, reveal how even the simplest nontrivial Boolean algebra is a rich mathematical subject.