中介邏輯是在直覺主義邏輯經典邏輯之間的中介,這是在它們包含在直覺主義邏輯中不可證明的定理,而又不等於的經典邏輯的意義上說的。這種邏輯也叫做超直覺主義次經典邏輯。

連續統的勢個不同的中介邏輯,通常是向直覺主義邏輯增加一個或多個公理而獲得的。 這種邏輯的例子有:

  • 直覺主義邏輯(IPC, Int, IL, H
  • 經典邏輯(CPC, Cl, CL):IPC + P ∨ ¬P
  • 排中律邏輯(KC, Jankov邏輯,德·摩根定律邏輯): IPC + ¬¬P ∨ ¬P
  • 哥德爾-Dummett邏輯(LC):IPC + (P → Q) ∨ (Q → P)
  • Kreisel-Putnam邏輯:IPC +(¬P →(Q ∨ R))→((¬P → Q) ∨ (¬P → R))
  • Medvedev有限問題的邏輯
  • 可實現性邏輯
  • Scott邏輯:IPC + ((¬¬P → P) → (P ∨ ¬P)) →(¬¬P ∨ ¬P)
  • Smetanich邏輯:IPC + (¬Q → P) →(((P → Q) → P)→ P)

研究中介邏輯的工具類似於直覺主義邏輯所使用的,比如Kripke語義。例如,Gödel-Dummett邏輯相對於線序的Kripke模型完全。

語義

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給定一個Heyting代數γ,在γ上有效的命題公式是中介邏輯。反過來說,給定一個中介邏輯可以構造出是 Heyting代數的它的Lindenbaum代數

一個直覺主義Kripke框架F偏序集合,而Kripke模型M是帶有求值使得 F上閉子集的Kripke框架。在F中有效的命題公式的集合是在中介邏輯中有效的。給定一個中介邏輯Σ有可能構造一個Kripke模型M使得M的邏輯是Σ(這種構造叫做「典範模型」)。帶有這個性質的Kripke框架可能不存在,但是一般框架總是有。

與模態邏輯的關係

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A是命題公式。A的「哥德爾-塔斯基翻譯」遞歸定義如下:

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如果Λ是S4的擴充則 ρΛ = {A | T(A) ∈ Λ}是中介邏輯,而Λ叫做ρΛ的「模態對應」。特別是:

  • IPC = ρS4
  • KC = ρS4.2
  • LC = ρS4.3
  • CPC = ρS5

對於所有中介邏輯Σ都有很多模態邏輯Λ使得Σ = ρΛ。

參見

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引用

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  • Toshio Umezawa. On logics intermediate between intuitionistic and classical predicate logic. Journal of Symbolic Logic, 24(2):141–153, June 1959.
  • Alexander Chagrov, Michael Zakharyaschev. Modal Logic. Oxford University Press, 1997.