变分法基本引理

数学里,特别是在变分法里,变分法基本引理fundamental lemma of calculus of variations)是一种专门用来变换问题表述的引理,可以将问题从弱版表述weak formulation)(变分形式)改变为强版表述(微分形式)。

叙述

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  代表 阶导数连续( 阶光滑)的函数空间, 代表无限光滑的函数空间。

变分法基本引理:

 

若任意   满足   成立

 

 

证明

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因为只要存在一个不满足    ,就可以证明   ,因此我们只须证明其中一个特例。


  满足下列两个条件:

 

 

并且令  

  可得到

 

因为    是正值,所以  必须恒等于 0 ,与假设   矛盾。

 

应用

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这引理可用来证明泛函

 

极值欧拉-拉格朗日方程式

 

的弱解。

欧拉-拉格朗日方程式在经典力学微分几何占有重要的角色。

参阅

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参考文献

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  • Leitmann, George. The Calculus of Variations and Optimal Control: An Introduction. Springer. 1981. ISBN 0306407078.