量子力学里,Delta位势垒是一个垒内位势为狄拉克Delta函数,垒外位势为0的位势垒。Delta位势垒问题专门研讨,在这种位势的作用中,一个移动的粒子的量子行为。我们想要知道的是,在被Delta位势垒散射的状况下,粒子的反射系数透射系数。在许多量子力学的教科书里,这是一个常见的习题。

定义

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对于一个Delta位势垒的散射。往左与往右的行进波的振幅与方向都分别表示于图内。用来计算透射系数反射系数行进波都以红色表示。

一个粒子独立于时间薛定谔方程

 

其中, 约化普朗克常数 是粒子质量, 是粒子位置, 是能量, 波函数 是位势,表达为

 

其中, 狄拉克Delta函数 是狄拉克Delta函数的强度。

导引

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这位势垒将一维空间分为两个区域:  。在任何一个区域内,位势为常数,薛定谔方程的解答可以写为往右与往左传播的波函数的叠加(参阅自由粒子):

 
 

其中,    都是必须由边界条件决定的常数,下标  分别标记波函数往右或往左的方向。 波数

由于   都是行进波。这两个波必须满足在 的边界条件:

 
 

特别注意第二个边界条件方程,波函数随位置的导数在 并不是连续的,在位势垒两边的差额有 这么多。这方程的推导必须用到薛定谔方程。将薛定谔方程积分于 的一个非常小的邻域:

 (1)

其中, 是一个非常小的数值。

方程(1)右边的能量项目是

 (2)

 的极限,这项目往著0去。

方程(1)左边是

 (3)

根据狄拉克Delta函数的定义,

 (4)

而在 的极限,

 (5)
 (6)

将这些结果(4),(5),(6)代入方程(3),稍加编排,可以得到第二个边界条件方程:在 

 

从这两个边界条件方程。稍加运算,可以得到以下方程:

 
 

反射与透射

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一个Delta位势垒的反射系数 (用红线表示)与透射系数 (用绿线表示)随着能量 的变化。在这里,能量 。能量的单位是 。经典力学的答案用虚线表示,量子力学的答案用实线表示。

由于能量是正值的,粒子可以自由的移动于位势垒外的两个半空间,  。可是,在Delta位势垒,粒子会遇到散射状况。设定粒子从左边入射。在Delta位势垒,粒子可能会被反射回去,或者会被透射过去。我们想要知道散射的反射系数透射系数。设定    。求算反射的概率幅 与透射的概率幅 

 
 

反射系数是

 

透射系数是

 

这纯粹是一个量子力学的效应,称为量子隧穿效应;在经典力学里,透射系数等于0,粒子不可能会透射过位势垒。

  • 由于模型的对称性,假若,粒子从右边入射,我们也会得到同样的答案。
  • 很奇异地,给予同样的能量、质量、与狄拉克Delta函数的强度,Delta位势垒与Delta位势阱有同样的反射系数与透射系数。

参阅

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