超黄金比例

在数学中，超黄金比例又称超黄金分割率是指比值为

超黄金比例

超黄金比例
数表—无理数 $\color {blue}{\sqrt {2}}$ - $\color {blue}\varphi$ - $\color {blue}{\sqrt {3}}$ - $\color {blue}{\sqrt {5}}$ - $\color {blue}\delta _{S}$ - $\color {blue}e$ - $\color {blue}\pi$
命名
名称	超黄金分割比 超黄金分割率
识别
种类	无理数
符号	$\psi$
位数数列编号	A092526
性质
连分数	[1; 2, 6, 1, 3, 5, 4, 22, 1, 1, 4, 1, 2, 84, 1, …]
以此为根的多项式或函数	$x^{3}-x^{2}-1=0$
表示方式
值	$\psi \approx$1.46557...
代数形式	${\frac {1+{\sqrt[{3}]{\frac {29+3{\sqrt {93}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {29-3{\sqrt {93}}}{2}}}}{3}}$
二进制	1.011101110010111110101101…
十进制	1.465571231876768026656731…
十六进制	1.772FAD1EDE80B462113642B4…

$\psi ={\frac {1+{\sqrt[{3}]{\frac {29+3{\sqrt {93}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {29-3{\sqrt {93}}}{2}}}}{3}}$

的比例。这个值是一元三次方程$x^{3}=x^{2}+1$的唯一一个实数根，一般以希腊字母$\psi$（psi）表示。其亦可以由双曲余弦表达：

$\psi ={\frac {2}{3}}\cosh {\left({\tfrac {\cosh ^{-1}\left({\frac {29}{2}}\right)}{3}}\right)}+{\frac {1}{3}}$。

其在十进制中的近似值约为1.465571231876768026656731…（OEIS数列A092526）。其倒数为：

${\frac {1}{\psi }}={\sqrt[{3}]{\frac {1+{\sqrt {\frac {31}{27}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {1-{\sqrt {\frac {31}{27}}}}{2}}}$ $={\tfrac {2}{\sqrt {3}}}\sinh \left({\tfrac {1}{3}}\sinh ^{-1}\!\left({\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right)\approx$0.6823 2780 3828 0193 2736 9483 7397 …（OEIS数列A263719）

此外，超黄金比例是第四小的皮索特数。

超黄金数列

超黄金数列又称为娜里亚纳牛只数列，是连续项之间的比率趋近于超黄金比例的数列。这个数列每一项都是前一项和前三项的和，前几项为1、 1、 1、 2、 3、 4、 6、 9、 13、 19、 28、 41、 60、 88、 129、 189、 277、 406、 595、 872……（OEIS数列A000930）。

性质

若一三角形边长为超黄金比例、超黄金比例的倒数和一，则边长为超黄金比例的对角为120度

超黄金比例的部分性质与黄金比例相关。例如超黄金数列（娜里亚纳数列）第n项的值表示用1×1和1×3的方块铺满1×n矩形的方法数，而斐波那契数列第n项的值则是表示用1×1和1×2的方块铺满1×n矩形的方法数。超黄金比例满足ψ−1 = ψ⁻²，而黄金比例则是满足φ−1 = φ⁻¹。在斐波那契兔子问题中，每对兔子可以在出生后的第二个周期开始每个周期都繁殖一次；而在娜里亚纳牛只问题中，每对牛只可以在出生后的第三个周期开始每个周期都繁殖一次。此外，边长比为超黄金比例的矩形（下称超黄金矩形）具有这样的特性：如果从超黄金矩形的一侧移除一个正方形，剩余的部分可以分割成一大一小方向不同的超黄金矩形。

另一个例子是，黄金比例和超黄金比例都是皮索特数。超黄金比例的代数共轭为${\dfrac {1+\left({\tfrac {1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{\tfrac {29+3{\sqrt {93}}}{2}}}+\left({\tfrac {1\mp i{\sqrt {3}}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{\tfrac {29+3{\sqrt {93}}}{2}}}}{3}}$，绝对值为${\tfrac {1}{\sqrt {\psi }}}\approx 0.8260313$，与$\psi ^{3}-\psi ^{2}-1=0$的根乘积为1。

超黄金矩形

此图显示了超黄金矩形内的长度为超黄金比例幂递减的模式，每个更小的超黄金矩形彼此与直角相交的模式出现

超黄金矩形是边长比为超黄金比例ψ=${\frac {1+{\sqrt[{3}]{\frac {29+3{\sqrt {93}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {29-3{\sqrt {93}}}{2}}}}{3}}$的矩形。当从超黄金矩形的短侧移除一个正方形，剩余的矩形边长比将变为ψ²:1。这个矩形可以分割成边长比为ψ:1和1:ψ的两个矩形，这两个矩形为方向差90度的两个超黄金矩形，面积比为ψ²:1。此外，若将分开两超黄金矩形的线延伸至穿过原始矩形的其余部分以及从原始矩形移除正方形的边来将原始矩形分成4个象限，则分割后面积较大的超黄金矩形与对角象限的矩形面积相同，其对角线长为原始矩形的短边长除以${\sqrt {\psi }}$的值。第四象限也是超黄金矩形，其对角线长为原始矩形短边的${\sqrt {\psi }}$倍。

参见

• 黄金比例
• 塑胶数