盖尔范德–奈马克–西格尔构造

在数学分支泛函分析中，对于给定的C*-代数 ${\mathcal {A}}$ ， Gelfand–Naimark–Segal 构造（简称GNS构造）在一个C*-代数的循环*-表示与该C*-代数上的某类线性泛函（称为态）之间建立了对应关系。这种对应关系是通过根据态来显式地构造*-表示来建立的。其名称中的三位数学家分别是伊斯拉埃爾·蓋爾范德 、 马克·奈马克和欧文·西格尔。

C*-代数的态与表示

C*-代数 ${\mathcal {A}}$ 在希尔伯特空间 $H$ 上的*-表示是 ${\mathcal {A}}$ 到 $B(H)$ 的 *-同态 $\pi$ ，其中 $B(H)$ 是 $H$ 上有界算子构成的代数。换句话说，$\pi$ 是将 ${\mathcal {A}}$ 上的对合映为 $B(H)$ 上的对合的代數同態。

下文提及 *-表示时，将默认讨论的是非退化的*-表示。也就是说线性生成空间 $\pi ({\mathcal {A}})H$ 是 $H$ 的稠密子集。注意，若 ${\mathcal {A}}$ 有单位元，则非退化性蕴含了 $\pi$ 的保单位元性质，即 $\pi$ 将 ${\mathcal {A}}$ 的单位元映射到 $H$ 上的恒等算子 $I$ 。

C*-代数 ${\mathcal {A}}$ 上的态是范数为 1 的正线性泛函 $f$ 。若 ${\mathcal {A}}$ 具有乘法单位元，则此条件等价于 $f(1_{\mathcal {A}})=I$ 。

对于希尔伯特空间 $H$ 上的C*-代数 ${\mathcal {A}}$ 的表示 $\pi$ 以及 $\xi \in H$ ，如果向量集

$\{\pi (x)\xi :x\in A\}$

在 $H$ 中范数稠密，则 $\xi ,\pi$ 分别被称为是循环向量和循环表示。一个不可约表示的任何非零向量都是循环的。然而，一般的循环表示中的非零向量可能不是循环向量。

GNS 构造

令 $\pi$ 为C*-代数 ${\mathcal {A}}$ 在希尔伯特空间 $H$ 上的*-表示，单位向量 $\xi$ 对于 $\pi$ 而言是循环向量。那么

$$a\mapsto \langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle$$

是 ${\mathcal {A}}$ 上的一个态。

反过来，通过选择一种典范的表示， ${\mathcal {A}}$ 的每个态都可以被视为如上所述的向量态。

定理 — 给定C*-代数 ${\mathcal {A}}$ 上的态 $\rho$ ，必有 ${\mathcal {A}}$ 在某个希尔伯特空间 $H$ 上的一个*-表示 $\pi$ 以及一个相对 $\pi$ 而言循环的单位向量 $\xi$ ，使得

$$\forall a\in {\mathcal {A}},\quad \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle .$$

 

證明

1. 构造希尔伯特空间 $H$

   定义 ${\mathcal {A}}$ 上的一个正半定半线性形式如下

   $$\langle a,b\rangle =\rho (b^{*}a),\;a,b\in A.$$
   根据柯西-施瓦茨不等式， ${\mathcal {A}}$ 中的退化元（也就是说即满足 $\rho (a^{*}a)=0$ 的 $a$ ）构成了 ${\mathcal {A}}$ 的一个子空间 ${\mathcal {I}}$ 。通过C*-代数式的论证，可以证明 ${\mathcal {I}}$ 是 ${\mathcal {A}}$ 的一个左理想（即 $\rho$ 的左核)。实际上，它是 $\rho$ 的核所含的最大的左理想。商空间 ${\mathcal {A}}/{\mathcal {I}}$ 可配备内积 $\langle a+I,b+I\rangle :=\rho (b^{*}a),\;a,b\in A$ 而成为内积空间。再利用内积诱导的范数进行完备化便得到被记作 $H$ 的希尔伯特空间.
2. 构造表示 $\pi$
   为定义 ${\mathcal {A}}$ 到 $B(H)$ 上的映射 ${\mathcal {A}}$ ，先定义 $\pi$ 到 $B({\mathcal {A}}/{\mathcal {I}})$ 上的映射。为此对于 $a\in {\mathcal {A}}$ ，定义算子 $\pi (a)$ 的行为如下： $\pi (a)(b+{\mathcal {I}})=ab+{\mathcal {I}}$ ，其中 $x+{\mathcal {I}}$ 表示商空间中的 $x\in {\mathcal {A}}$ 所属的等价类。类似前面对 ${\mathcal {I}}$ 是左理想的证明，可以证明前述的算子 $\pi (a)$ 是有界的，故可以唯一地扩张为 $H$ 上的有界算子。注意希尔伯特空间上算子的伴随的定义， $\pi$ 显然是保对合的，至此便证明了它是一个*-同态。
3. 找出循环单位向量 $\xi$

   若 ${\mathcal {A}}$ 有乘法单位元 $1$ ，则显然 ${\mathcal {A}}$ 中单位元所在的等价类就是 $H$ 中相对于 $\pi$ 而言的循环向量 $\xi$ 。若 ${\mathcal {A}}$ 没有乘法单位元，可考虑 ${\mathcal {A}}$ 的渐进单位元 $\{e_{\lambda }\}$ 。由于正线性泛函有界， $\{e_{\lambda }\}$ 在商空间中的等价类将收敛于某个向量 $\xi \in H$ ，即所要寻找的循环向量。

   根据 $H$ 上内积的定义，态 $\rho$ 显然可由上述循环表示和循环向量构造而来，于是此定理证毕。

在上述定理的证明中，根据 ${\mathcal {A}}$ 上的态产生*-表示的方法称为GNS构造。

对于C*-代数 ${\mathcal {A}}$ 上的一个态，相应的GNS表示本质上由 $\rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle$ 唯一确定了。下面的定理说明了这一点：

定理 — 设 $\pi ,\pi '$ 是 ${\mathcal {A}}$ 分别在希尔伯特空间 $H,H'$ 上的*-表示，相应的循环单位向量分别是 $\xi ,\xi '$ 。对于 ${\mathcal {A}}$ 上给定的态 $\rho$ ，若其满足

$$\forall a\in {\mathcal {A}},\quad \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle =\langle \pi '(a)\xi ',\xi '\rangle$$

，则 $\pi ,\pi '$ 是幺正等价的*-表示，也就是说存在一幺正算子 $U:H\to H'$ 使得

$$\forall a\in {\mathcal {A}},\quad \pi '(a)=U\pi (a)U^{*}.$$

该算子具有性质 $\forall a\in {\mathcal {A}},\quad U\pi (a)\xi =\pi '(a)\xi '.$

GNS构造的重要性

GNS构造是盖尔范德-奈马克定理证明的核心，该定理将C*-代数刻画为算子代数。一个C*-代数具有足够多的纯态（见下文）来使得相应不可约GNS表示的直和成为忠实的。

全体态对应的GNS表示的直和称为 ${\mathcal {A}}$ 的万有表示，其包含有每个循环表示。由于每个*-表示都是循环表示的直和，因此 ${\mathcal {A}}$ 的每个 *-表示可在万有表示之副本之和的直和分解中找到。

若 $\Phi$ 是 C*-代数 ${\mathcal {A}}$ 的万有表示，则 $\Phi ({\mathcal {A}})$ 在弱算子拓扑中的闭包称为 ${\mathcal {A}}$ 的包络冯诺依曼代数。它可以视为是双对偶 ${\mathcal {A}}^{**}$ 。

不可约性

不可约*-表示和态所构成的凸集的极点（純態）之间的关系也很重要。 $H$ 上的表示 $\pi$ 是不可约的，当且仅当 $H$ 没有非平凡的在任一 $\pi (x)$ 下不变的闭子空间，这里所谓平凡的子空间是指 $H,\{0\}$ 。

定理 — 有单位元的C*代数 ${\mathcal {A}}$ 上的态构成一个弱*-拓扑意义下的紧致凸集。更普遍的是，（无论C*代数是否有单位元）范数不大于一的正线性泛函构成一紧凸集。

这些结果可由巴拿赫-阿勞格魯定理直接得出。

作为有单位元的交换代数，对于某个紧致的 $X$ 上的连续函数所构成的C*-代数 ${\mathcal {C}}(X)$ ， 里斯-马尔可夫-角谷表示定理指出，范数不超过一的正泛函可视作 $X$ 上一个总质量不超过一的博雷尔正测度。根据克林-米尔曼定理，极点态则对应于狄拉克测度。

另一方面， ${\mathcal {C}}(X)$ 的表示的不可约性等价于其是一维的。因此，为使 ${\mathcal {C}}(X)$ 对应于测度 $\mu$ 的GNS 表示是不可约的，须且仅须 $\mu$ 是一极点态。事实上，这对于一般的C*-代数也成立。

定理 — 设 $\pi$ 是C*-代数 ${\mathcal {A}}$ 在希尔伯特空间 $H$ 上的*-表示，相应的循环单位向量是 $\xi$ ，相应的态是 $f$ 。当且仅当 $f$ 是范数不大于一的正线性泛函所构成之凸集的极点时，表示 $\pi$ 是不可约的。

为证明此结果，首先须注意，一个表示是不可约的当且仅当 $\pi ({\mathcal {A}})$ 的中心化子（记作 $\pi ({\mathcal {A}})'$ ）由单位元的标量倍数构成。

${\mathcal {A}}$ 上任一被 $f$ 控制的正线性泛函 $g$ 具有形式

$$g(x^{*}x)=\langle \pi (x)\xi ,\pi (x)T_{g}\,\xi \rangle ,$$

其中 $T_{g}\in \pi ({\mathcal {A}})'$ 是某个正算子，其在算子序下满足 $0\leq T\leq 1$。这是拉东-尼科迪姆定理的一个版本。

对于这样的 $g$ ，可以将 $f$ 写为如下正线性泛函的和： $f=g+g'$ 。因此 $\pi$ 幺正等价于 $\pi _{g}\oplus \pi _{g'}$ 的一个子表示。这表明当且仅当任何这样的 $\pi _{g}$ 都幺正等价于 $\pi$ ，即 $g$ 是 $f$ 的标量倍数， $\pi$ 才是不可约的。于是便证明了该定理。

上文提到的极点态往往被称为纯态，但须注意纯态的定义是全体态所构成之凸集的极点。

上述C*-代数的定理可推广到具有渐进单位元的B*-代数。

推广

刻画完全正映射的斯坦斯普林扩张定理是GNS构造的一个重要推广。

历史

盖尔凡德和奈马克关于盖尔凡德-奈马克定理的论文发表于1943年。西格尔意识到了其工作中隐含的构造，并以更明显的形式呈现出来。

西格尔在其1947年的论文中表明，对于可由希尔伯特空间上的算子代数描述的任何物理系统，考虑 C*-代数的不可约表示就足够了。在量子理论中，这意味着C*-代数是由可观测量生成的。正如西格尔所指出的，约翰·冯·诺依曼早先已经证明过这一点，但仅限于非相对论性的薛定谔-海森堡理论的特殊情况。

参见

• 斯坦斯普林扩张定理

参考资料

 

• William Arveson, An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, 1981
• Kadison, Richard, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191.
• Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars, 1969.
  English translation: Dixmier, Jacques. C*-algebras. North-Holland. 1982. ISBN 0-444-86391-5. 
• Thomas Timmermann, An invitation to quantum groups and duality: from Hopf algebras to multiplicative unitaries and beyond, European Mathematical Society, 2008, ISBN 978-3-03719-043-2 – Appendix 12.1, section: GNS construction (p. 371)
• Stefan Waldmann: On the representation theory of deformation quantization, In: Deformation Quantization: Proceedings of the Meeting of Theoretical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, May 31-June 2, 2001 (Studies in Generative Grammar) , Gruyter, 2002, ISBN 978-3-11-017247-8, p. 107–134 – section 4. The GNS construction (p. 113)
• G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily. Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics. World Scientific. 2005. ISBN 981-256-129-3.