拟阵组合数学中的一个结构,是对向量空间线性独立这一概念的概括与归纳。拟阵有许多等价的定义,其中最主要的几个定义分别是基于独立集、基底、环路、闭集、平坦、闭包算子和秩函数。

拟阵理论从线性代数图论中借用了大量术语,主要是因为它是对这些领域中很多重要的核心概念的概括。拟阵理论在几何拓扑学组合优化网络理论编码理论中都有应用。

定义

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拟阵有很多等价的定义方式[1]

独立集

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就独立集来说, 一个有限的拟阵   是一个二元组  , 其中   是一个 有限集 (称之为 基础集) ,  是一个由 的子集构成的 集族 (称之为 独立集) 它需要满足下面的条件:[2]

  1. 空集 是独立的, 也就是说,  . 换个说法就是, 至少有一个  的子集是独立的, 即: .
  2. 每个独立集的子集是独立的, 即: 对于每个子集  , 如果   . 有时我们称之为 遗传特性.
  3. 如果     的两个独立子集,  有更多的元素, 则在 中存在一个元素,当其加入  时得到一个比 更大独立子集. 有时我们称之为 扩充特性 或者叫 独立集交换特性.

头两个特性定义了一个公认的组合结构,叫做独立系统

对于有限拟阵  ,若其基础集 的子集 是一个极大的独立集(即添加任何一个新的元素得到的子集都不是独立集),则将 称为一个基底(英文:basis)。拟阵的一种等价定义为二元组 ,其中  是一个有限集,  是一个由基底构成的 的子集族,称为 ,满足以下条件:[1]

  1.  ;(即至少存在一个基底)
  2. 对于 中不同的集合 以及任一元素 ,存在元素 使得 。(该条件被称为交换公理)

可以证明,一个有限拟阵的所有基底的元素个数都相同,这个数被称为拟阵的

环路

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对于有限拟阵  ,若其基础集 的子集 是一个极小的非独立集(即去掉其中任一元素得到的子集都是独立集),则将 称为一个环路(英文:circuit)。拟阵的一种等价定义为二元组 ,其中  是一个有限集,  是一个由环路构成的 的子集族,称为 的环路集,满足以下条件:[1]

  1.  
  2. 如果  ,则 
  3. 对于 中不同的集合 以及元素 ,存在 使得 

可以证明,基础集的一个子集是独立集当且仅当它不包含任一环路作为子集。

秩函数

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类似线性代数基底的性质,拟阵的基底具有类似的性质: 的任意两个基底具有相同的元素个数。这个数字被称为拟阵 

闭包

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参考资料

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 A standard source for basic definitions and results about matroids is Oxley (1992). An older standard source is Welsh (1976). See Bryzlawski's appendix in White (1986) pp.298–302 for a list of equivalent axiom systems.
  2. ^ Welsh (1976), Section 1.2, "Axiom Systems for a Matroid", pp. 7–9.