拉薩爾不變集原理

拉薩爾不變集原理(LaSalle's invariance principle)也稱為不變集原理(invariance principle)[1]Barbashin-克拉索夫斯基-拉薩爾原理(Barbashin-Krasovskii-LaSalle principle)[2]克拉索夫斯基-拉薩爾原理(Krasovskii-LaSalle principle),是自治动力系统(可能是非線性系統李雅普诺夫稳定性的判斷準則。

全域穩定性版本

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考慮以下方程式的系統

 

其中 為符合以下條件的變數向量

 

若可以找到  函数  ,使下式成立

 針對所有 (半負定)

則任何軌跡中聚點(accumulation point)的集合都在 內,  是其完整軌跡完全在 集合的聯集。

 函數又有正定的性質,即

 ,針對所有的 
 

而且 除了  for  的平凡軌跡外,未包括其他軌跡,則原點為李雅普诺夫稳定性

再者,若 是徑向無界(radially unbounded)

 時, 

原點為全域漸近穩定

局部穩定性版本

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 ,當 
 

 在原點的鄰域 內才成立,且集合

 

除了 的軌跡外,不包括其他系統的軌跡,則依照拉薩爾不變集原理的局部穩定版本,原點有局部的漸近穩定性

和李雅普诺夫稳定性的關係

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If  負定,則原點的全域漸進穩定是李雅普诺夫第二定理的結果。若 只是半負定,不變集原理也是判斷漸近穩定性的準則。

例子:有摩擦力的單擺

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此段落會用不變集原理來確立簡單系統的區部漸近穩定性。此系統的微分方程如下[1]

 

其中 是單擺的角度,以垂直往下的角度為0度, 是單擺的質量, 摩擦係數g是因重力產生的加速度。

因此可以將系統方程式表示如下

 
 

利用不變集原理,可以證明一定大小的球體,若初始位置在原點附近 ,可以證明其所有的軌跡都會漸近收斂到原點。定義 

 

 即為系統的能量[2] 在原點附近,半徑 的開球體內為正定。計算其導數

 

可觀察到 。若 成立,可以依李雅普诺夫第二定理得到所有軌跡都會到達原點的結論。不過很可惜,  只是半負定。不過,以下集合

 

也就是

 

除了平凡軌跡x = 0外,不包括系統內的任何軌跡。若在特定時間  ,  ,則因為 必需小於 ,則  。因此,軌跡不會停留在集合 內。

不變集原理的所有條件都滿足,也可以下結論說:所有在原點附近的軌距,當 時,最後都會收斂到原點[3]

歷史

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此結果是由約瑟夫·皮爾·拉薩爾英语J.P. LaSalle(在RIAS英语Research Institute for Advanced Studies)及尼古拉·尼古拉耶維奇·克拉索夫斯基英语Nikolai Nikolaevich Krasovsky兩人獨立發現,兩人分別在1960年及1969年發表。約瑟夫·皮爾·拉薩爾在1960年發表此論文,是西方第一位發表此定理的人,而1952年由Barbashin及尼古拉·尼古拉耶維奇·克拉索夫斯基曾提到此定理中的特例,而1959年時由克拉索夫斯基發表了一般性的定理[4]

相關條目

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原始論文

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  • LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. (PDF页面存档备份,存于互联网档案馆))
  • Barbashin, E. A.; Nikolai N. Krasovskii. Об устойчивости движения в целом [On the stability of motion as a whole]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1952, 86: 453–456 (俄语). 
  • Krasovskii, N. N. Problems of the Theory of Stability of Motion, (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

教科書

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教材

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參考資料

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  1. ^ Khalil, Hasan. Nonlinear Systems 3rd. Upper Saddle River NJ: Prentice Hall. 2002. 
  2. ^ Wassim, Haddad; Chellaboina, VijaySekhar. Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach. Princeton University Press. 2008. 
  1. ^ Lecture notes on nonlinear control页面存档备份,存于互联网档案馆), University of Notre Dame, Instructor: Michael Lemmon, lecture 4.
  2. ^ ibid.
  3. ^ Lecture notes on nonlinear analysis页面存档备份,存于互联网档案馆), National Taiwan University, Instructor: Feng-Li Lian, lecture 4-2.
  4. ^ Vidyasagar, M. Nonlinear Systems Analysis, SIAM Classics in Applied Mathematics, SIAM Press, 2002.