代數幾何與解析幾何

數學中,代數幾何與解析幾何是兩個關係密切的學科。代數幾何研究代數簇,在複數域上,同時也能以複分析微分幾何的技術研究代數簇。讓-皮埃爾·塞爾在1956年的同名論文中比較了這兩種觀點。在 SGA 第一冊附錄中,則以概形論的語言重新表述。

性質的比較

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給定一個   上的局部有限型概形  ,可以考慮相應的複解析空間  。此對應   定義一個從局部有限型概形範疇到複解析空間範疇的函子。對任一  -模  ,同樣可考慮相應的  -模  ,這也給出相應的函子。可以證明   是一個正合、忠實且保守的函子。

論證中用到的關鍵性質是: 平坦 -模。

拓撲性質比較

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  為一局部可構子集(即:局部閉集的有限併集),以下   的性質在   中成立,若且唯若在   中成立:

  • 開子集
  • 閉子集
  • 稠密子集

  為有限型態射時,對於    本身,下述性質也是相通的:

概形性質比較

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以下性質對   成立,若且唯若對   成立:

  • 非空
  • 離散
  • 科恩-麥考利概形
  •  
  •  
  • 正規
  • 既約
  • 維度等於  

態射性質比較

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  為概形的態射,   為複解析空間的相應態射,則下述性質對   成立若且唯若對   成立:

  • 平坦
  • 非分歧
  • 平展
  • 平滑
  • 正規
  • 既約
  • 分離
  • 單射(拓撲意義)
  • 同構
  • 單射(範疇論意義)
  • 開浸入

若再要求   是有限型態射,則可再加入下述性質:

  • 滿射(拓撲意義)
  • 優勢態射
  • 閉浸入
  • 浸入
  • 真態射
  • 有限態射

上同調比較

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以下假設  真態射,對任一個凝聚  -模  ,有自然同構:

 

  時,遂有層上同調的比較定理:

 

此時   給出範疇的等價。

黎曼存在性定理

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黎曼存在性定理則斷言:若   -上的局部有限型概形,且   是複解析空間的有限平展覆蓋,則存在  -概形   及平展態射  ,使得  。此外,函子   給出從【  的有限平展覆蓋】到【  的有限平展覆蓋】的範疇等價。

  為連通時,此定理的一個直接推論是代數基本群與拓撲基本群的比較定理:

 

其中  ,而   表示代數基本群   對有限指數子群的完備化

文獻

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