User:用户名永远已存在/分裂四元数

分裂四元数乘法
× 1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k −j
j j −k 1 i
k k j i 1

抽象代数中,分裂四元数(split-quaternions)或反四元数(coquaternions)是一种四维的结合代数的元素,由James Cockle英语James Cockle在1849年引入,当时称为反四元数。 类似于汉密尔顿1843年引入的四元数 ,它们组成了一个四的实向量空间,且有乘法运算。 与四元数不同,分裂四元数包含非平凡的零因子幂零元和{{Tsl|en|Idempotent_(ring_theory)|幂等元}。(例如, 是幂等的零因子,而 是幂零元。)作为一种数学结构,分裂四元数形成了域代数,且与2 × 2的矩阵同构

集合 组成一个。 这些元素的积由

,
,
,
,
,

给出。因此。 由以上定义可得,集合在分裂四元数乘法的定义下是一个,与二面体群同构,称为正方形的对称群。

分裂四元数共轭

由于其基向量的反交换性,分裂四元数与其共轭的积由其迷向二次型


给出。

给定两个反四元数,有,意味着 是可合成的二次型。 其上的代数是一种合成代数, 是其范数。 任何满足的反四元数q称为零向量(Null vector而非Zero vector),它的存在意味着反四元数形成"分裂的合成代数",因此反四元数也被称为分裂四元数

当范数非零时,倒数,即 . 集合

单位元的集合。 全体分裂四元数的集合组成 ,其单位群。全体的分裂四元数组成一个非紧致拓扑群 ,且与同构(见下)。

历史上讲,分裂四元数早于凯莱的矩阵代数;分裂四元数(及四元数和双复数)引发了对线性代数的深入研究。

矩阵表示

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 ,考虑普通复数 ,  ,它们的共轭复数为 ,  。然后

 

 表示为矩阵环,其中的分裂四元数的乘法与矩阵乘法的行为相同。例如,这个矩阵的行列式

 

减号的出现将反四元数与使用了加号的四元数 区分开来。双曲几何中,庞加莱圆盘模型上范数为1的分裂四元数代表多重引导的使用是代数最重要的运用之一。

除了复矩阵表示,另一种线性表示将反四元数与2×2实矩阵英语2_×_2_real_matrices联系起来。这种同构可以明确如下:首先注意到积

 

左边每个因子的平方是单位矩阵,而右边的平方是单位矩阵的负数。此外,注意这三个矩阵,连同单位矩阵,构成了 的基。可以使上述矩阵乘积对应于反四元数环中的 。然后,对于任意矩阵有一个双射

 

这实际上形成了环同构。此外,计算各项的平方和表明 ,矩阵的行列式。因此,反四元数的单位拟球英语Quasi-sphere 群同构,因此与 也群同构,后者可以从上面的复表示中得到。

例如,用2×2实矩阵表示双曲运动群,见Karzel和Kist。[1]

在这两种线性表示中,范数由行列式给出。由于行列式是乘法映射,两个反四元数积的范数等于范数的积。这样反四元数就形成了合成代数。作为实数上的代数,它是仅有的七个这样的代数之一。

由双曲复数生成

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Kevin McCrimon展示了如何按照L. E. Dickson和Adrian Albert为   给出的除法构造所有的合成代数。[2]实际上,他给出了real-split的doubled product的乘法法则

 

如前所述,双共轭   因此

 

如果ab双曲复数,分裂四元数 那么

 .

性质

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圆E在平面 z =0中。



J 的元素是+1的平方根
 




I的元素是−1的平方根。

可以通过 的子空间 来了解其子代数。

 

参数  是此子空间中圆柱坐标系的基。参数 表示方位角。接下来令a表示任意实数,并考虑反四元数

 
 

这正是Alexander Macfarlane英语Alexander Macfarlane和Carmody的等边双曲面坐标。[3]

接下来,在环的向量子空间中构造三个基础集合:

 
 , 单叶双曲面
 , 双叶双曲面

现在很容易验证

 

 

这些集合相等意味着当 时,平面

 

 的一个与双曲复数平面同构的子环,就像对 中的任意 

 

是与普通复平面 同构的 的平面子环。

注意对于所有  ,因此  是幂零元。平面  的一个与二元数同构的子环。由于每个反四元数都必须位于某个   平面上,所以这些平面组成了 ,例如,单位拟球

 

包含了 的构成平面上的“单位圆”:在 中是一个单位双曲线,在 中是一对平行线,而在 中确实是一个圆。

泛正交性

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反四元数 标量部分为w。

定义 对于非零反四元数   当且仅当乘积 的标量部分为零。

  • 对任意的  ,如果  ,那么 意味着从   射线垂直的。
  • 对任意的  ,如果  ,那么 意味着这两点是双曲正交英语Hyperbolic_orthogonality的。
  • 对任意的     满足  
  • 如果 是反四元数环中的一个单位元,那么 意味着 

证明:因向量外积的反交换性, ,因此 

参考资料

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  1. ^ Karzel, Helmut & Günter Kist (1985) "Kinematic Algebras and their Geometries", in Rings and Geometry, R. Kaya, P. Plaumann, and K. Strambach editors, pp. 437–509, esp 449,50, D. Reidel
  2. ^ Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras, page 64, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR[1]
  3. ^ Carmody, Kevin (1997) "Circular and hyperbolic quaternions, octonions, sedionions", Applied Mathematics and Computation 84(1):27–47, esp. 38