糾纏譜 (entanglement spectrum) 是一个由 Li 和 Haldane 在2008年提出的量子力学概念[1],可作為糾纏熵的推廣,用來分析量子多體系統的波函數糾纏譜的數學定義是

其中約化密度矩陣的第本徵值

簡介

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討論量子糾纏的時候,經常把一個量子系統區分成 A 和 B 兩個子系統,量子糾纏則是探討 A 和 B 之間的量子關聯性。假設總系統的歸一化波函數可以寫成

 

雖然總系統的密度矩陣   是一個純態,但是經過部分跡子系統 B 的自由度之後,得到的約化密度矩陣   可能是一個混合態,即  。 這個部分跡 」是指只子系統 B 的自由度的操作,其結果仍是一個矩陣,矩陣大小變為子系統 A 的自由度的大小。約化密度矩陣的矩陣元是

 

可以看出約化密度矩陣是一個厄米矩陣 ,所以  本徵值必為實數。由於   可能是一個混合態,這表示當總系統是 這個狀態時,如果測量只發生在子系統 A,則會得到許多不同可能的結果,這些不同的結果相對應的機率就是  本徵值  ,滿足本徵值方程式  。由於總系統波函數是歸一化的, ,可推得所有的本徵值的總和也是歸一化的。

 

  也有機率的意義。一個只作用在 A 的測量量   的期望值就是把子系統在各個本徵態的期望值  ,和子系統對應在那個本徵態的機率  ,相乘之後的總和,

 

A 和 B 之間的糾纏的程度大小,可以從   的分布觀察得到,例如:若所有的本徵態的機率皆相等, ,則 A 和 B 是最大可能的糾纏狀態。另一個極限是,若只有其中一個本徵值為 1, ,其餘本徵值皆為 0, ,那麼測量子系統 A 也只會得到一種可能,這表示 A 和 B 沒有任何糾纏。「糾纏熵」正是可以很好的刻畫這樣的性質,不過糾纏熵把本徵值的分佈濃縮成一個數值,糾纏譜則是直接觀察   的本徵值的分佈,然而糾纏譜的定義讓單純的機率分佈和能譜有更巧妙的關聯和意義。


量子統計力學英语Quantum statistical mechanics中,考慮一個正則系綜的混合態密度矩陣  ,其中   是溫度的倒數, 波茲曼常數 配分函數  是系統的哈密顿算符。既然約化密度矩陣   是一個混合態,那麼將它類比成一個熱力學平衡時,溫度  的熱態  ,可以定義出一個假想的哈密顿算符  ,這個   是只作用在子系統 A 上的算符,稱為糾纏哈密顿算符(Entanglement Hamiltonian),而   的本徵值   就稱為糾纏譜,滿足  ,所以糾纏譜  的關係是  

 

須注意糾纏譜的定義可以不討論系統的哈密顿算符,而且即使系統的哈密顿算符   可寫成子系統的相加以及子系統之間的相互作用, ,一般來說糾纏哈密顿算符   也不會正比於子系統 A 的哈密顿算符   

Li-Haldane猜想

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參考文獻

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  1. ^ Hui Li and F. D. M. Haldane, Entanglement Spectrum as a Generalization of Entanglement Entropy: Identification of Topological Order in Non-Abelian Fractional Quantum Hall Effect States, Phys. Rev. Lett. 101, 010504 (2008)