物理空间代数

物理学中，物理空间代数 （APS）是用三维欧氏空间的克利福德代数或几何代数${\rm {Cl}}_{3,\ 0}(\mathbb {R} )$作为(3+1)维时空的模型，通过副向量（3维向量加1维标量）表示时空中的一个点。

克利福德代数${\rm {Cl}}_{3,\ 0}(\mathbb {R} )$在旋量表示$\mathbb {C} ^{2}$上有由泡利矩阵生成的忠实表示；此外，${\rm {Cl}}_{3,\ 0}(\mathbb {R} )$同构于克利福德代数${\rm {Cl}}_{3,\ 1}(\mathbb {R} )$的偶子代数${\rm {Cl}}_{3,\ 1}^{[0]}(\mathbb {R} )$。

APS可为经典力学与量子力学构建一个紧凑、统一的几何形式。

注意APS与时空代数（STA）不同，后者涉及4维闵氏时空的克利福德代数${\rm {Cl}}_{1,\ 3}(\mathbb {R} )$。

狭义相对论

时空位置副向量

APS中，时空位置可表为副向量

$$x=x^{0}+x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3},$$

其中时间由标绿部分$x^{0}=t$给出，${\vec {e}}_{1},\ {\vec {e}}_{2},\ {\vec {e}}_{3}$是位置空间的标准基。整个过程中使用的单位是$c=1$，称作自然单位制。在泡利矩阵表述中，单位基向量被泡利矩阵代替，标量部分被单位矩阵代替，这意味着时空位置的泡利矩阵表述为

$$x\rightarrow {\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&&x^{0}-x^{3}\end{pmatrix}}$$

洛伦兹变换与转子

主条目：洛伦兹变换和转子 (数学)

保时间方向、包含旋转与递升的受限洛伦兹变换，可用对时空旋转双副向量W进行指数化实现：

$$L=e^{{\frac {1}{2}}W}.$$

在矩阵表示中，洛伦兹转子被看作是${\rm {SL}}(2,\ \mathbb {C} )$群（复数上度为2的特殊线性群）的一个例子，其是洛伦兹群的双覆盖。洛伦兹转子的幺模性可由以下条件，转为洛伦兹转子与其克利福德共轭之积：

$$L{\bar {L}}={\bar {L}}L=1.$$

此洛伦兹转子总可以分解为两个因子，是厄米的$B=B^{\dagger }$与幺正的$R^{\dagger }=R^{-1}$，使得

$$L=BR.$$

酉元R称作转子，因为其编码了旋转，厄米元B则编码了递升。

四维速度副向量

四维速度也称原速，定义为时空位置副向量对原时τ的导数：

$$u={\frac {dx}{d\tau }}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}+{\frac {d}{d\tau }}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})={\frac {dx^{0}}{d\tau }}\left[1+{\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})\right].$$

定义普通速度为

$$\mathbf {v} ={\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3}),$$

回想伽马因子的定义：

$$\gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{c^{2}}}}}},$$

于是原速的更紧凑定义是：

$$u=\gamma (\mathbf {v} )(1+\mathbf {v} ).$$

原速是正幺模副向量，意味着下列克利福德共轭条件：

$$u{\bar {u}}=1.$$

在洛伦兹转子L作用下，原速变换为

$$u\rightarrow u^{\prime }=LuL^{\dagger }.$$

四维动量副向量

APS中的四维动量可通过将原速与质量相乘得到：

$$p=mu,$$

质壳条件转化为

$${\bar {p}}p=m^{2}.$$

经典电动力学

主条目：经典电动力学

电磁场、电势与电流

电磁场可表为双副向量F：

$$F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ,$$

其中厄米部分代表电场E，反厄米部分代表磁场B。在标准泡利矩阵表示中，电磁场为

$$F\rightarrow {\begin{pmatrix}E_{3}&E_{1}-iE_{2}\\E_{1}+iE_{2}&-E_{3}\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}B_{3}&B_{1}-iB_{2}\\B_{1}+iB_{2}&-B_{3}\end{pmatrix}}\,.$$

场F的源是电磁四维电流

$$j=\rho +\mathbf {j} \,,$$

其中标量部分等于电荷密度ρ，向量部分等于电流密度j。引入电磁势副向量：

$$A=\phi +\mathbf {A} \,,$$

当中标量部分等于电势ϕ，向量部分等于磁势A。则电磁场为

$$F=\partial {\bar {A}}.$$

此场也可分为电部分

$$E=\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{V}$$

与磁部分

$$B=i\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{BV}$$

当中

$$\partial =\partial _{t}+\mathbf {e} _{1}\,\partial _{x}+\mathbf {e} _{2}\,\partial _{y}+\mathbf {e} _{3}\,\partial _{z}$$

且F在下列规范变换下不变：

$$A\rightarrow A+\partial \chi \,,$$

其中$\chi$是标量场。

电磁场在洛伦兹变换下是协变的，规律是

$$F\rightarrow F^{\prime }=LF{\bar {L}}\,.$$

麦克斯韦方程组与洛伦兹力

麦克斯韦方程组可用单一方程表示：

$${\bar {\partial }}F={\frac {1}{\epsilon }}{\bar {j}}\,,$$

其中上横线表示克利福德共轭。

洛伦兹力方程形式为

$${\frac {dp}{d\tau }}=e\langle Fu\rangle _{R}\,.$$

电磁拉格朗日量

电磁拉格朗日量是

$$L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle _{S}-\langle A{\bar {j}}\rangle _{S}\,,$$

是实标量不变量。

相对论量子力学

主条目：相对论量子力学

对质量为m、电荷为e的带电粒子，其狄拉克方程的形式为

$$i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}+e{\bar {A}}\Psi =m{\bar {\Psi }}^{\dagger },$$

其中${\vec {e}}_{3}'$是任意酉向量，A是如上所述的电磁副向量。电磁相互作用通过最小耦合包含在势A中。

经典旋量

主条目：旋量

与洛伦兹力一致的洛伦兹转子的微分方程为

$${\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda ,$$

这样，原速可通过静止时的洛伦兹变换计算出来：

$$u=\Lambda \Lambda ^{\dagger },$$

积分之，就可得到时空轨迹$x(\tau )$，同时还能使用

$${\frac {dx}{d\tau }}=u.$$

另见

• 副向量
• 多重向量
• wikibooks:Physics Using Geometric Algebra
• 相对论量子力学
• 代数

参考文献

教科书

• Baylis, William. Electrodynamics: A Modern Geometric Approach 2nd. 2002. ISBN 0-8176-4025-8. 
• Baylis, William (编). Clifford (Geometric) Algebras: with applications to physics, mathematics, and engineering. Springer. 1999 [1996]. ISBN 978-0-8176-3868-9. 
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony. Geometric Algebra for Physicists. Cambridge University Press. 2007 [2003]. ISBN 978-1-139-64314-6. 
• Hestenes, David. New Foundations for Classical Mechanics 2nd. Kluwer. 1999. ISBN 0-7923-5514-8. 

文章

• Baylis, W E. Relativity in introductory physics. Canadian Journal of Physics. 2004, 82 (11): 853–873. Bibcode:2004CaJPh..82..853B. S2CID 35027499. arXiv:physics/0406158 . doi:10.1139/p04-058. 
• Baylis, W E; Jones, G. The Pauli algebra approach to special relativity. Journal of Physics A: Mathematical and General. 7 January 1989, 22 (1): 1–15. Bibcode:1989JPhA...22....1B. doi:10.1088/0305-4470/22/1/008. 
• Baylis, W. E. Classical eigenspinors and the Dirac equation. Physical Review A. 1 March 1992, 45 (7): 4293–4302. Bibcode:1992PhRvA..45.4293B. PMID 9907503. doi:10.1103/physreva.45.4293. 
• Baylis, W. E.; Yao, Y. Relativistic dynamics of charges in electromagnetic fields: An eigenspinor approach. Physical Review A. 1 July 1999, 60 (2): 785–795. Bibcode:1999PhRvA..60..785B. doi:10.1103/physreva.60.785.