利用三角公式和代数式变形来证明
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与希羅在他的著作《Metrica》中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边 的对角分别为 ,则余弦定理为
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利用和平方、差平方、平方差等公式,从而有
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用旁心來證明
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設 中, 。
為內心, 為三旁切圓。
四點共圓,並設此圓為圓 。
- 過 做鉛直線交 於 ,再延長 ,使之與圓 交於 點。再過 做鉛直線交 於 點。
- 先證明 為矩形: ,又 (圓周角相等)。 為矩形。因此, 。
- 內切圓半徑 , 旁切圓半徑 。且易知 。由圓冪性質得到: 。故
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