派克变换

派克变换（也译作帕克变换，英语：Park's Transformation），是目前分析同步电动机运行最常用的一种坐标变换，由美国工程师派克（R.H.Park）在1929年提出。派克变换将定子的a,b,c三相电流投影到随着转子旋转的直轴（d轴），交轴（q轴）与垂直于dq平面的零轴（0轴）上去，从而实现了对定子电感矩阵的对角化，对同步电动机的运行分析起到了简化作用。

定义

派克正变换：

${\mathbf {i} }_{dq0}={\mathbf {P} }{\mathbf {i} }_{abc}={\frac {2}{3}}\left[{\begin{array}{*{20}c}{\cos \theta }&{\cos \left({\theta -120^{\circ }}\right)}&{\cos \left({\theta +120^{\circ }}\right)}\\{-\sin \theta }&{-\sin \left({\theta -120^{\circ }}\right)}&{-\sin \left({\theta +120^{\circ }}\right)}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{i_{a}}\\{i_{b}}\\{i_{c}}\\\end{array}}\right]$

逆变换：

${\mathbf {i} }_{abc}={\mathbf {P} }^{-1}{\mathbf {i} }_{dq0}=\left[{\begin{array}{*{20}c}{\cos \theta }&{-\sin \theta }&1\\{\cos \left({\theta -120^{\circ }}\right)}&{-\sin \left({\theta -120^{\circ }}\right)}&1\\{\cos \left({\theta +120^{\circ }}\right)}&{-\sin \left({\theta +120^{\circ }}\right)}&1\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{i_{d}}\\{i_{q}}\\{i_{0}}\\\end{array}}\right]$

派克变换也作用在定子电压与定子绕组磁链上： ${\mathbf {u} }_{dq0}={\mathbf {P} }{\mathbf {u} }_{abc}$，${\mathbf {\Psi } }_{dq0}={\mathbf {P} }{\mathbf {\Psi } }_{abc}$

几何解释

上图描绘了派克变换的几何意义，定子三相电流互成120度角，$\delta$为定子电流落后于它们对应的相电压的角度。直轴与交轴电流分别等于定子三相电流在d轴与q轴上的投影。（图中的比例系数${\sqrt {\frac {3}{2}}}$是由于图中所采用的是正交形式的派克变换）d-q坐标系在空间中以角速度$\omega$逆时针旋转，故 $\theta =\omega t$ 以d轴领先a相轴线的方向为正。当定子电流为三相对称的正弦交流电时，$i_{d}$,$i_{q}$为直流电流，$i_{0}=0$。

用派克变换化简同步发电机基本方程

变换后的磁链方程

磁链方程：

$\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {\Psi } }_{abc}}\\{{\mathbf {\Psi } }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {L} }_{SS}}&{{\mathbf {L} }_{SR}}\\{{\mathbf {L} }_{RS}}&{{\mathbf {L} }_{RR}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{-{\mathbf {i} }_{abc}}\\{{\mathbf {i} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]$

上式中的电感系数矩阵 ${{\mathbf {L} }_{SS}},{{\mathbf {L} }_{SR}},{{\mathbf {L} }_{RS}},{{\mathbf {L} }_{RR}}$ 事实上都含有随时间变化的角度参数，使得方程求解困难。

现对等式两边同时左乘 $\left[{\begin{array}{*{20}c}{\mathbf {P} }&{}\\{}&{\mathbf {U} }\\\end{array}}\right]$，其中${\mathbf {U} }$为三阶单位矩阵。方程化为：

$\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {\Psi } }_{dq0}}\\{{\mathbf {\Psi } }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}{\mathbf {P} }&{}\\{}&{\mathbf {U} }\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {L} }_{SS}}&{{\mathbf {L} }_{SR}}\\{{\mathbf {L} }_{RS}}&{{\mathbf {L} }_{RR}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {P} }^{-1}}&{}\\{}&{\mathbf {U} }\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{-{\mathbf {i} }_{abc}}\\{{\mathbf {i} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]$

$\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {\Psi } }_{dq0}}\\{{\mathbf {\Psi } }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {PL} }_{SS}{\mathbf {P} }^{-1}}&{{\mathbf {PL} }_{SR}}\\{{\mathbf {L} }_{RS}{\mathbf {P} }^{-1}}&{{\mathbf {L} }_{RR}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{-{\mathbf {i} }_{dq0}}\\{{\mathbf {i} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]$

其中 ${\mathbf {PL} }_{SS}{\mathbf {P} }^{-1}=\left[{\begin{array}{*{20}c}{L_{d}}&{}&{}\\{}&{L_{q}}&{}\\{}&{}&{L_{0}}\\\end{array}}\right]\triangleq {\mathbf {L} }_{dq0}$。

① 变换后的电感系数都变为常数，可以假想dd绕组，qq绕组是固定在转子上的，相对转子静止。

② 派克变换阵对定子自感矩阵 ${\mathbf {L} }_{SS}$ 起到了对角化的作用，并消去了其中的角度变量。${L_{d}},{L_{q}},{L_{0}}$ 为其特征根。

③ 变换后定子和转子间的互感系数不对称，这是由于派克变换的矩阵不是正交矩阵。

④ ${L_{d}}$ 为直轴同步电感系数，其值相当于当励磁绕组开路，定子合成磁势产生单纯直轴磁场时，任意一相定子绕组的自感系数。

变换后的电压方程

电压方程：

$\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {U} }_{abc}}\\{{\mathbf {U} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {r} }_{S}}&{}\\{}&{{\mathbf {r} }_{R}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{-{\mathbf {i} }_{abc}}\\{{\mathbf {i} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {\dot {\Psi }} }_{abc}}\\{{\mathbf {\dot {\Psi }} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]$

现对等式两边同时左乘 $\left[{\begin{array}{*{20}c}{\mathbf {P} }&{}\\{}&{\mathbf {U} }\\\end{array}}\right]$，其中${\mathbf {U} }$为三阶单位矩阵。方程化为：

$\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {U} }_{dq0}}\\{{\mathbf {U} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {r} }_{S}}&{}\\{}&{{\mathbf {r} }_{R}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{-{\mathbf {i} }_{dq0}}\\{{\mathbf {i} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {P{\dot {\Psi }}} }_{abc}}\\{{\mathbf {\dot {\Psi }} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]$

由 ${\mathbf {\Psi } }_{dq0}={\mathbf {P\Psi } }_{abc}$ ，

对两边求导，得 ${\mathbf {\dot {\Psi }} }_{dq0}={\mathbf {{\dot {P}}\Psi } }_{abc}+{\mathbf {P{\dot {\Psi }}} }_{abc}$ ，

所以 ${\mathbf {P{\dot {\Psi }}} }_{abc}={\mathbf {\dot {\Psi }} }_{dq0}-{\mathbf {{\dot {P}}\Psi } }_{abc}={\mathbf {\dot {\Psi }} }_{dq0}-{\mathbf {{\dot {P}}P} }^{-1}{\mathbf {\Psi } }_{dq0}$

其中 ${\mathbf {{\dot {P}}P} }^{-1}=\left[{\begin{array}{*{20}c}{}&\omega &{}\\{-\omega }&{}&{}\\{}&{}&{}\\\end{array}}\right]$ ，令 ${\mathbf {S} }={\mathbf {{\dot {P}}P} }^{-1}{\mathbf {\Psi } }_{dq0}=\left[{\begin{array}{*{20}c}{}&\omega &{}\\{-\omega }&{}&{}\\{}&{}&{}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{\Phi _{d}}\\{\Phi _{q}}\\{\Phi _{0}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}{\omega \Psi _{q}}\\{-\omega \Psi _{d}}\\{}\\\end{array}}\right]$

于是有 $\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {U} }_{dq0}}\\{{\mathbf {U} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {r} }_{S}}&{}\\{}&{{\mathbf {r} }_{R}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{-{\mathbf {i} }_{dq0}}\\{{\mathbf {i} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {\dot {\Psi }} }_{dq0}}\\{{\mathbf {\dot {\Psi }} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]-\left[{\begin{array}{*{20}c}{\mathbf {S} }\\{}\\\end{array}}\right]$

上式右边第一项为绕组电阻的压降，第二项为变压器电势，第三项为发电机电势或旋转电势。

参考书目

• 电机电子类科《电力系统暂态分析》，ISBN 978-7-5083-4825-4，作者：李光琦，中国电力出版社。